圆周率 π：从周三径一到 314 万亿位，还没解开的是正规性
- 2026-10-04 01:31:49
一、先给结论
π（读「派」）是圆周长与直径的比。它无限不循环，不能写成两个整数之比，也不能用有限次加减乘除和开方从有理数做出来。工程上十几位已经够用；2025 年算到 314 万亿位，比的是机器能不能连续跑几个月。还没被证明的，是小数是否正规：每一位数字是否像随机。
可核对的要点：
判断
依据
定义与符号
周长 / 直径；1706 年 William Jones 用希腊字母 π，1748 年欧拉《无穷分析引论》把它写进主流
无理、超越
Lambert 1761 年证明无理；Lindemann 1882 年证明超越，尺规化圆为方因此不可能
工程够用的位数
NASA JPL 行星导航用 3.141592653589793；可观测宇宙周长精确到氢原子直径，37 位小数足够
手算时代的高峰
祖冲之给出 3.1415926 < π < 3.1415927，密率 355/113，约率 22/7；七位小数在公开年表里大约保持到 15 世纪
当代破纪录算法
Chudnovsky 级数（每项约 14 位小数）+ 大数 FFT 乘法；实现几乎都是 Alexander Yee 的 y-cruncher
截至 2026-09 的公开纪录
2025-11-18 完成、同年 12 月宣布：314,000,000,000,000 位
仍开放的数学问题
是否正规（normal）；BBP 公式把该问题与一类混沌迭代连在一起，尚无证明
对位数竞赛：观望。对正规性、BBP 与中国算法史重建：跟进。
二、事实层
1. π 是什么
圆的周长除以直径，得到同一个数。半径为 r 的圆，周长 2πr，面积 πr²。它也出现在傅里叶分析、正态分布、欧拉公式 e^{iπ} + 1 = 0、量子力学和周期运动里，因为这些对象都带圆周或旋转对称。
口语「派」来自英文 pi 的读音。中国古代叫「圆周率」，早期常用「周三径一」，即把比当成 3。
它无限不循环，所以任何有限位小数或分数都是近似。常用近似：
近似
来源
大约准到
3
《周髀算经》等早期口径
整数
22/7 ≈ 3.142857
阿基米德上界，后称约率
2 位小数
355/113 ≈ 3.14159292
祖冲之密率
6 位小数
3.141592653589793
当代双精度 / JPL 导航
15 位小数
355/113 是分母不超过四位数时最好的有理近似。分母再小一档的更好分数，要到 52163/16604。
2. 关键节点
时间
人物 / 文献
发生了什么
约前 2000 年
巴比伦、埃及
巴比伦用 25/8 = 3.125；埃及莱因德纸草书用 4×(8/9)² ≈ 3.1605
约前 250 年
阿基米德
用圆内接、外切正 96 边形夹逼：223/71 < π < 22/7，首次给出可加密的几何程序
263 年
刘徽《九章算术注》
割圆术：「割之弥细，所失弥少」；取 157/50 = 3.14，并给出 3927/1250 = 3.1416
约 480 年
祖冲之
《隋书·律历志》记盈朒二限与密率、约率；原书《缀术》北宋前亡佚
约 1400 年
印度喀拉拉学派 Madhava
独立得到反正切无穷级数，即后来欧洲的 Gregory–Leibniz 公式；位数记录进入两位数
1424 年
卡西（al-Kāshī）
把精度推进到约 16 位。常见科普把「打破祖冲之纪录」记在他名下；公开年表里 Madhava 学派约 1400 年已到约 10 位
1596–1615 年
Ludolph van Ceulen
算到 35 位，欧洲一度称 π 为「Ludolph 数」
1706 年
John Machin；William Jones
Machin 用反正切组合算到 100 位；Jones 引入符号 π
1761 / 1768 年
Lambert
用正切连分数证明 π 无理；论文 1761 年完成，柏林科学院 1768 年刊出
1882 年
Lindemann
证明 π 超越。化圆为方（只用尺规作一个与圆等面积的正方形）被彻底排除
1897 年
美国印第安纳州众议院
第 246 号法案几乎把某个隐含 π≈3.2 的「新数学真理」写成州法，参议院搁置，未生效
1914 年前后
Ramanujan
给出每项可贡献约 8 位的快速级数，后来成为 Chudnovsky 公式的源头
1949 年
ENIAC
电子计算机首次算 π，70 小时得到 2037 位
1976 年
Brent、Salamin
算术几何平均（AGM）算法，迭代一次大约把正确位数翻倍
1988 年
Chudnovsky 兄弟
发表超几何级数；此后破纪录计算几乎都用它
1988 / 2009 / 2019 年
Larry Shaw；美国国会；UNESCO
旧金山 Exploratorium 办起 3 月 14 日 Pi Day；2009 年美国众议院支持；2019 年 UNESCO 把 3 月 14 日定为国际数学日，2020 年起正式纪念
1995 年
Bailey、Borwein、Plouffe
BBP 公式：可以直接提取第 n 个十六进制位，不必先算出前面所有位
2009 年起
Takahashi、Kanada、Iwao、Yee 等
万亿位时代；2010 年代后公开纪录几乎都跑在 y-cruncher 上
阿基米德和刘徽走的是同一条几何路：用正多边形逼近圆。刘徽把程序写清楚了，可以一直割下去。祖冲之的结果写在唐初编的《隋书》里，原文是：
以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。
换成分数和小数，就是 3.1415926 < π < 3.1415927，以及 355/113、22/7。《缀术》怎么算出来的，原书不在了。后世多按刘徽割圆术重建，认为要割到正 12288 边形或 24576 边形；也有人用何承天「调日法」解释密率。这些是重建，不是出土的原算法。
3. 不同算法在算什么
路线
代表
核心想法
收敛 / 用途
几何夹逼
阿基米德、刘徽、祖冲之
正多边形周长或面积夹住圆周
边数翻倍，精度缓慢增加；手算上限大约七位小数
无穷级数
Madhava、Leibniz、Newton
π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − …，或反正弦、反正切幂级数
Leibniz 公式极慢；Newton 类级数能手算到十几位
Machin 型反正切
Machin 1706
把 π 写成几个 arctan 的有理组合，每项衰减更快
18–19 世纪手算主力；Shanks 1873 年声称 707 位，第 528 位起算错，1946 年 Ferguson 查出
AGM / Gauss–Legendre
Brent、Salamin 1976
算术平均与几何平均交替迭代
二次收敛，曾用于超算纪录
Ramanujan / Chudnovsky
1914 / 1988
模形式与超几何级数；Chudnovsky 每项约 14.18 位小数
当代破纪录默认算法
数字提取
BBP 1995；Bellard 变体
直接算第 n 个十六进制位
不适合一次产出全部十进制位；用来交叉验证、抽查远端数字
大数乘法
Schönhage–Strassen 等 FFT 乘法
n 位运算复杂度接近 n log n
位数过亿之后，真正耗时的是乘法和磁盘换入换出
蒙特卡洛投点
教学演示
往正方形里随机投点，看落在四分之一圆的比例
要数百万次采样才勉强看到前几位，不用于严肃计算
当代公开破纪录流程大致固定：用 Chudnovsky 算出二进制或十六进制展开，再用 BBP / Bellard 公式抽查若干远端位，最后转成十进制。软件层几乎都是 y-cruncher。硬件瓶颈从 CPU 挪到了闪存带宽、散热和几个月不停电。
4. 最近新闻（2024–2026）
完成时间
团队
位数
配置要点
2022-03
Google Cloud / Emma Haruka Iwao
100 万亿
云上多实例，y-cruncher
2024-02
StorageReview
105 万亿
单机 + 近 1 PB Solidigm QLC
2024-06-28
StorageReview / Solidigm
202 万亿
Dell PowerEdge + 28 块 61.44 TB SSD，约 85 天
2025-04-02
Linus Media Group / 铠侠
300 万亿
双路 EPYC + 约 2 PB 共享闪存；铠侠 2025-05-19 称吉尼斯认证，第 300 万亿位是 5
2025-11-18
StorageReview / Micron
314 万亿
单台 Dell PowerEdge R7725，双路 AMD EPYC 9965（384 核），1.5 TB 内存，40 块 Micron 61.44 TB 6550 Ion；y-cruncher 0.8.6.9545，Chudnovsky
314 万亿这次，StorageReview 2025-12-11 发文，吉尼斯纪录页写作 2025-11-18、StorageReview 与 Micron。实验室给出的数字：
开始：2025-07-31；结束：2025-11-18
墙钟约 110 天；π 主体计算 101.773 天
自称全程无宕机、无需从检查点恢复
总耗电 4304.662 kWh，约 13.70 kWh / 万亿位
对照他们估算的 300 万亿集群：约 33600 kWh
峰值逻辑磁盘占用约 1.43 PiB；读写合计超过 200 PiB 量级
吉尼斯条目还写：这是首次在已发表的 π 展开里，发现所有 13 位数字组合都出现过。10¹³ 种 13 位串，314 万亿个滑动窗口处在「几乎该出现齐」的量级；这是组合计数，不是正规性证明。
2026-03 前后，Pi Day 报道把 314 万亿位重新送上科普头条。2026-08-06，预印本 arXiv:2608.06438 用这批数字做蒙特卡洛：把 π 的小数当成伪随机源，再去估计 π，得到约 3.141593。作者写明：这是统计随机性的经验证据，不能证明数字独立，更不能证明正规性。
NASA JPL 教育站 2026-03-04 更新了「到底需要多少位」一文，导航用的仍是 15 位小数；Voyager 1 距离改到约 160 亿英里，结论没变。
三、结构分析
π 的故事叠了三层，经常被揉成一层。
第一层是定义与证明。 它是几何比。无理说明写不成分数；超越说明写不成整系数多项式的根。化圆为方在这个点上结束。学校里把 3.14 或 22/7 当「π 的值」，省事，也容易让人以为后面那些位只是表演。
第二层是算法。 精度每上一个数量级，方法就要换代。多边形夹逼把人算到七位；级数把人算到几百位；AGM 和 Ramanujan 型级数把电子计算机送进亿位、万亿位。BBP 改变的是提问方式：不必从头算完，也能问「第 n 位是几」。破纪录用的仍是 Chudnovsky，因为要把连续的十进制位全部写出来，提取公式并不更快。
第三层是工业。 万亿位之后，π 变成存储和可靠性基准。Google 用云集群证明「堆实例也能算」；Linus Media Group 和铠侠用共享闪存集群证明「存储厂可以上头条」；StorageReview 用单台 2U 机器把耗电和停机次数压下去，证明「密度和带宽可以换规模」。Dell、Micron、Solidigm、Kioxia 的名字出现在纪录稿里，和出现在超算或 AI 训练稿里，逻辑一样：长时间、高 I/O、不能中断。
这三层对「需要多少位」的答案不同。行星导航停在 15 位。可观测宇宙对氢原子停在 37 位小数。正规性讨论需要尽量多的位，但仍是证据，不是证明。厂商竞赛需要一个能写进新闻标题的整数，314 万亿刚好撞上 3.14。
中国数学史在这里有一个特别位置。刘徽把「可以一直做下去」写成术文；祖冲之把结果推到七位小数，并用密率给出一个到今天仍好用的分数。原书失传之后，公众容易只记住「祖冲之很厉害」，不容易看见：他解决的是逼近，Lambert 和 Lindemann 解决的是「这个数属于哪一类」。两类工作不互相替代。
四、外部研判
以上是观察，不是定理。
位数竞赛可以观望。 2024 到 2025，纪录从 100 万亿跳到 105、202、300、314 万亿，间隔按月计。下一步大概率还是 y-cruncher + 更多闪存，标题数字再对齐 3.1415 一类纪念日。它能检验服务器、固件和供电，对「π 是什么」几乎没有新信息。NASA 那 15 位已经把太阳系量完了。
真正值得跟进的是正规性。 一个数在某进制下正规，意思是任意有限数字串出现的频率都等于该有的概率。几乎所有实数都正规，具体到 π、e、√2，一个都还没证出来。已算出来的千亿、万亿位通过了常见统计检验，2026 年那篇蒙特卡洛预印本走的也是这条经验路线。经验通过，证明仍缺。BBP 把「第 n 位」变成可计算对象，Bailey 与 Crandall 还把它连到一类混沌迭代；这条线如果有突破，会比再多 100 万亿位更改变我们对 π 的理解。
密率比再多一位小数更耐用。 355/113 误差大约百万分之 0.08，心算、工程估算、课堂演示都够。中国中小学更常记 3.14 和 22/7，密率出现的频率偏低。若只保留一个「中国贡献」的课堂对象，我会保留这个分数，以及刘徽那句「割之又割，以至于不可割」。
「算 π」和「懂 π」已经分开。 1949 年 ENIAC 算 2037 位，还是在回答「机器能不能做以前人手做不到的算术」。2025 年算 314 万亿位，回答的是「这块盘和这颗 CPU 能不能连续工作 110 天」。两者都正当，题目不同。把后者说成数学突破，是把压力测试写成了定理。
跟进 / 观望：
事项
态度
下一步
新的位数纪录、厂商稿、吉尼斯认证
观望
只在算法或验证方法变化时复核
π 是否正规、BBP 与混沌迭代
跟进
看预印本是否进入期刊，有没有新的充分条件
《缀术》算法路径
跟进
继续区分「隋书记载的结果」和「后世重建的步骤」
用 π 位数当密码或「宇宙密码」
不跟进
无限不循环不等于隐藏了可解码的日常信息
五、未能验证
祖冲之的原算法。盈朒二限与密率、约率可以回到《隋书·律历志》；正多边形边数、是否使用调日法、是否使用相当于连分数的手续，都是重建。
Madhava 及其学派到底算对了多少位。二手年表常写约 10 位，也有 11 位或更多的说法，一手写本与转写链条没有在这次核对中逐页对照。
吉尼斯「所有 13 位组合都出现」的独立复算脚本与完整位数文件。公开的是纪录页表述和实验室博客，314 万亿位的完整文本无法由读者本地下载复核。
StorageReview 所称「近年大规模破纪录中唯一全程零宕机」。这是该实验室对自己与对照实验的描述；Linus / 铠侠 300 万亿次运行的宕机细节，公开视频和新闻稿没有给出可逐项对照的日志。
300 万亿次约 33600 kWh 的能耗。来源是 StorageReview 对集群方案的估算，不是铠侠官方电表读数。
arXiv:2608.06438（2026-08-06）尚未看到期刊接收信息；蒙特卡洛结论按预印本对待。
是否存在未公开的、用新算法刷新位数或推进正规性证明的工作。
六、信息来源与说明
定义、年表与算法对照：Wikipedia Chronology of computation of π、Chudnovsky algorithm、Proof that π is irrational；MacTutor Lambert 条目；刘徽《九章算术注》割圆术原文；《隋书·律历志》祖冲之条（转引自公开点校本与二次文献）。
无理与超越：Lambert 论文完成于 1761、刊于 1768；Lindemann 1882。化圆为方的不可能性由此推出。
工程位数：NASA JPL Education，Marc Rayman，《How Many Decimals of Pi Do We Really Need?》，2016 文，2026-03-04 更新。
当代纪录：y-cruncher 官网纪录表；StorageReview，Kevin O’Brien，2025-12-11；吉尼斯 Most accurate value of pi；铠侠 2025-05-19 中文新闻稿；Solidigm / StorageReview 2024 年 202 万亿位报道。
文化日历：Exploratorium Pi Day 史；IMU / UNESCO 2019-11-26 国际数学日公告。
统计与正规性：Bailey 等 BBP 相关论文；arXiv:2608.06438（预印本）。
推断：把 2024–2025 的纪录赛解读为存储基准，属于外部观察；密率「更值得进课堂」是作者判断。
资料截至 2026-09-11。新的位数纪录或正规性证明出现后，事实层需要改，结论里「观望竞赛、跟进正规性」可以保持到被新证据推翻为止。
